El Acto: antes de la geometría

1. La pregunta que queda abierta

El recorrido del Cuaderno nos ha permitido examinar diferentes relaciones entre geometría y física. Una geometría puede describir un espacio, participar en una teoría dinámica u organizar determinados cálculos.

2. «Antes» no introduce un reloj previo

Cuando decimos «antes de la geometría», conviene precisar qué tipo de prioridad estamos considerando.

En una construcción matemática, podemos definir primero una colección de relaciones y después introducir una distancia que dependa de ellas. Se trata de un orden lógico: la definición posterior utiliza elementos introducidos en la anterior.

La ecuación todavía no garantiza una estructura fractal. Debemos conocer la transformación y estudiar sus propiedades. En construcciones autosimilares como la de Menger, la regla introduce copias reducidas y una relación precisa entre escalas.

3. Cómo se construye la esponja de Menger

Elegimos un cubo sólido de lado L, con L mayor que cero. Esta es la etapa inicial, n = 0.

Dividimos cada arista en tres partes iguales. Así obtenemos 27 cubos menores, de lado L/3. Retiramos siete: el cubo central y los seis que ocupan los centros de las caras del cubo inicial. Conservamos los otros 20.

Aplicamos la misma división y selección a cada cubo conservado. En la segunda etapa quedan 400 cubos, cada uno de lado L/9.

La instrucción mantiene su forma mientras cambia el tamaño de los elementos sobre los que actúa. Esa relación entre regla y escala organiza la construcción.

4. Qué podemos contar en cada etapa

Tras n iteraciones, el número de cubos conservados es:

N_n = 20^n

El lado de cada uno es:

l_n = L/3^n

La primera fórmula se obtiene porque cada cubo conservado produce 20 en la etapa siguiente. La segunda expresa que cada paso divide su lado por tres.

El volumen total de los cubos conservados es:

V_n = L^3 · (20/27)^n

Las posibles coincidencias entre sus fronteras no añaden volumen. Como 20/27 es menor que uno, este volumen tiende a cero al aumentar n.

Estas expresiones describen la construcción geométrica escogida. L fija una longitud del modelo y necesita una interpretación adicional si queremos asociarla a una escala física.

5. El objeto límite y sus aproximantes

Los conjuntos de esta construcción están encajados: cada etapa queda contenida en la anterior. La esponja de Menger ideal se define como la intersección de todas esas etapas.

Un dibujo, una maqueta o una construcción digital pueden representar un número finito de niveles. El objeto matemático ideal incorpora el límite de la secuencia.

En la Ficha 0.4 distinguimos el valor de una construcción matemática de su interpretación física y de su contraste con observaciones. Ahora examinamos el punto de partida conceptual de TCA-F5D. En lugar de comenzar exclusivamente con una estructura ya dada, preguntamos por las operaciones que permitirían construirla. Esta elección orienta una investigación: todavía debemos especificar qué objetos y qué reglas la hacen posible.

Ese orden no constituye una cronología del universo. Para atribuirle un sentido temporal necesitaríamos una definición del tiempo, una dinámica y una interpretación física apropiadas. Por eso no suponemos aquí un reloj situado fuera del espacio-tiempo que marque el comienzo de la geometría.

3. Del objeto a la operación

Una descripción puede prestar atención a entidades y propiedades: qué componentes hay, qué valores tienen sus variables o cómo están relacionados. Una descripción operativa añade otra pregunta: ¿qué transformaciones están permitidas?

En este recorrido, el Acto nombra inicialmente esa orientación generativa. Puede pensarse como una modificación de un estado o como el establecimiento, la eliminación o la transformación de una relación. No especificamos todavía una única operación matemática universal.

La pregunta es más acotada: ¿qué elementos necesitamos definir para construir una descripción geométrica?

Como recurso de lectura podemos representar una transformación mediante el esquema:

Sₙ → Sₙ₊₁

Los símbolos designan dos descripciones relacionadas por una operación. Los subíndices enumeran pasos de una construcción; no tienen por qué representar instantes físicos.

Este esquema no fija la regla, el espacio de estados ni una ley de evolución. Para convertirlo en una definición matemática suficiente habría que declarar esos componentes y comprobar que la operación tiene sentido en ellos.

También debemos distinguir la intuición del procedimiento ejecutable. Decir «se establece una relación» abre una posibilidad. Una regla explícita indica entre qué elementos puede establecerse, bajo qué condiciones y con qué efecto sobre las siguientes operaciones.

5. Un ejemplo sencillo: definir cercanía desde conexiones

Consideremos un modelo deliberadamente pequeño: tres elementos, llamados p, q y r. Elegimos una conexión entre p y q, y otra entre q y r. Las conexiones son no dirigidas y cada paso cuenta lo mismo. No hay una conexión directa entre p y r.

Definimos una distancia como el menor número de conexiones que hay que recorrer para ir de un elemento a otro. Bajo esas reglas, la distancia entre p y q es uno; entre q y r también es uno; entre p y r es dos.

El ejemplo muestra cómo una elección de relaciones y una definición adicional permiten construir una noción de distancia sin asignar primero coordenadas en un plano. El dibujo que podamos hacer de esos elementos no decide esa distancia: la decide la regla escogida.

La distinción tiene una consecuencia concreta. Cada aproximante formado por cubos sólidos contiene regiones de volumen positivo y tiene dimensión de Hausdorff 3. El conjunto límite presenta una dimensión de Hausdorff diferente.

El paso al límite es parte de la definición matemática. Sus propiedades deben justificarse mediante los argumentos correspondientes.

Los supuestos importan. Si añadimos una conexión directa entre p y r, su distancia pasa a ser uno. Si cambiamos los pesos de las conexiones, tendremos que modificar el cálculo. Si usamos conexiones dirigidas, las propiedades de la distancia pueden cambiar y requieren examen.

Se trata de una ilustración matemática elemental. No demuestra que el espacio físico surja de esta regla, ni atribuye a este modelo una dimensión fractal o una dinámica gravitatoria. Su utilidad es mostrar dónde intervienen las elecciones que convierten relaciones en propiedades geométricas.

6. De dónde viene la dimensión de Menger

El conjunto límite puede descomponerse en 20 copias de sí mismo, cada una reducida por un factor de tres.

El resultado de dimensión para sistemas autosimilares de semejanzas exige una condición de separación, conocida como condición de conjunto abierto [2]. En esta construcción, el interior del cubo inicial sirve como conjunto abierto: las 20 imágenes son interiores de subcubos distintos, están contenidas en él y no se superponen entre sí.

Con esas condiciones, la dimensión de Hausdorff d_H satisface:

20 · (1/3)^(d_H) = 1

Por tanto:

d_H = log(20)/log(3) ≈ 2,7268

La base del logaritmo puede elegirse libremente si se usa la misma en el numerador y el denominador.

Este número caracteriza una propiedad geométrica del conjunto límite. Su cálculo requiere tanto las razones de escala como las condiciones que permiten aplicar el resultado de dimensión.

7. Qué aporta este ejemplo a la noción de Acto

La autosimilitud exacta del objeto ideal ofrece una referencia matemática. En una aplicación debemos estudiar el intervalo de escalas relevante, las desviaciones y la resolución de los datos.

Una imagen sugerente puede motivar la pregunta. La interpretación física exige formular la correspondencia y someter sus consecuencias al contraste pertinente.

Podemos hablar de una huella cuando una transformación introduce una diferencia identificable en la descripción. Por ejemplo, una conexión añadida modifica qué recorridos admite una red.

Para estudiar la persistencia de esa diferencia debemos precisar cómo evoluciona el sistema y cómo reconocemos que la huella permanece. No toda modificación tiene que producir una estructura estable. La estabilidad, la duración y la memoria son propiedades que necesitan criterios dentro del modelo.

Este cuidado permite formular una pregunta útil: ¿qué reglas de composición de operaciones mantienen relaciones suficientes para construir una estructura reconocible?

Esta ficha trabaja principalmente en el plano conceptual. Presenta el Acto como orientación de una investigación abierta y explicita algunas condiciones necesarias para desarrollarla. No pretende cerrar mediante una imagen o una expresión abreviada la emergencia del espacio-tiempo.

La construcción hace visible cómo una regla local, repetida sobre los elementos conservados, organiza una estructura global. Por eso ofrece una analogía útil para explorar el Acto como orientación generativa.

En el ejemplo hemos elegido un cubo inicial, un espacio ambiente y una operación. Esas elecciones forman parte del modelo. La investigación de TCA-F5D debe precisar qué relación propone entre sus propios objetos y una construcción de este tipo.

En mecánica, la acción S asigna un valor a una trayectoria a partir de un lagrangiano integrado en el tiempo. Para sistemas mecánicos habituales, el lagrangiano puede expresarse como energía cinética menos energía potencial. Un principio de acción estacionaria permite obtener ecuaciones de movimiento bajo condiciones definidas [2].

La noción de Acto que presentamos aquí cumple otra función: abrir una pregunta sobre operaciones generativas. Todavía no la hemos identificado con ese funcional ni con sus unidades.

Si una construcción de TCA-F5D propone relacionarlos, deberá especificar sus variables, sus dimensiones y la derivación pertinente. Mantener separados los conceptos permite estudiar esa posible relación con precisión.

La intuición encuentra aquí una tarea concreta: definir las operaciones, justificar la estructura obtenida y estudiar qué propiedades dependen de cada elección.

8. Del fractal ideal a una posible interpretación física

Para utilizar una construcción fractal como modelo de un fenómeno debemos indicar qué representa, qué escalas examina y qué magnitudes podrían compararse con observaciones.

8. El desafío de hablar de un «campo»

En muchos modelos físicos, un campo se define asignando cantidades a los puntos de un espacio o de un espacio-tiempo. Si nuestra pregunta busca investigar la construcción de la geometría, utilizar esa definición desde el comienzo podría introducir como supuesto parte de lo que deseamos explicar.

Por eso, «Campo del Acto» plantea una tarea formal: precisar cómo se organizan las operaciones, qué estructura permite relacionarlas y qué papel cumple una geometría de partida, si se utiliza alguna.

Un modelo que comienza con un grafo o con un soporte fractal ya definido puede estudiar operaciones sobre ese soporte. Ese trabajo puede tener valor matemático propio. Para sostener que además construye o explica su soporte se necesita un argumento adicional. Esta diferencia permite localizar con claridad la pregunta que cada construcción responde.

9. De la forma a la dinámica

La regla geométrica determina cómo construimos el conjunto. Para estudiar un proceso sobre él necesitamos especificar también cómo se distribuye una cantidad y cómo evoluciona.

Debemos introducir una medida, elegir un espacio de funciones y definir una forma de energía o una estructura equivalente que permita construir el operador apropiado.

9. De la intuición a una hipótesis física

Podemos reconocer tres tareas en el programa generativo. Primero, definir las operaciones y las relaciones. Después, justificar qué estructuras y propiedades se obtienen. Finalmente, cuando se proponga una interpretación física, construir la correspondencia con magnitudes observables, unidades y escalas.

Una intuición poética puede iniciar el recorrido. Una definición permite construir un objeto. Una demostración establece consecuencias bajo premisas precisas. Un cálculo reproducible informa sobre el sistema calculado. La comparación con observaciones requiere además el puente físico pertinente.

Distintas elecciones pueden dar lugar a problemas dinámicos diferentes. Por eso la dimensión geométrica, por sí sola, no determina una ley de difusión ni un espectro físico.

La Ficha 0.7 desarrollará esta transición: «Del Acto conceptual al operador matemático». El objetivo será precisar qué objetos necesitamos para que una construcción produzca consecuencias matemáticas examinables.

10. La siguiente pregunta: del Acto al fractal

La reiteración de una regla puede producir estructuras muy diferentes. Repetir una operación no basta para obtener un fractal. Debemos conocer qué se repite, cómo interviene la escala y qué propiedades adquiere la estructura resultante.

En la Ficha 0.6 examinaremos esa transición: del Acto como orientación conceptual a reglas de construcción capaces de generar estructuras multiescala. La pregunta será qué condiciones permiten hablar de autosimilitud y qué necesitamos demostrar en cada caso.

REFERENCIAS DEL DESARROLLO

[1] Víctor Lennon Sepúlveda. Cuaderno 0.1 TCA-F5D. ¿Puede la geometría producir física? Del espacio euclidiano al Acto. Edición gratuita de lectura, versión 1.0, 11 de octubre de 2026. Ficha 0.6, pp. 22–25.

[2] John E. Hutchinson. «Fractals and Self-Similarity». Indiana University Mathematics Journal, 30(5), 1981, pp. 713–747.
https://doi.org/10.1512/iumj.1981.30.30055

FIN DEL CONTENIDO DEL DESPLEGABLE