De Riemann al Acto

Riemann · Ampliar lo posible

En su lección de 1854, Riemann examinó espacios con distinto número de dimensiones y distintas maneras de medir. La métrica dice cómo medir longitudes en un entorno pequeño. Como esa regla puede variar de un lugar a otro, permite estudiar curvaturas que se detectan desde el propio espacio [2].

Se abre así una diferencia fértil: la matemática permite construir geometrías diversas; saber cuál describe un fenómeno físico requiere observaciones.

Einstein · La geometría participa en el movimiento

En relatividad general, la métrica del espacio-tiempo interviene en el movimiento de los cuerpos en caída libre y en la propagación de la luz. El contenido de materia y energía participa, a su vez, en las ecuaciones que gobiernan esa geometría [3].

La geometría se vuelve una variable física. Sus efectos pueden estudiarse comparando, por ejemplo, cómo transcurre el tiempo en distintos lugares o cómo se desvía una trayectoria luminosa.

Amplitudes · Una geometría para organizar un cálculo

En física cuántica, las amplitudes intervienen en el cálculo de los resultados de un proceso de dispersión. El amplituedro permite expresar ciertas amplitudes de una teoría específica; un asociaedro en un espacio cinemático cumple un papel análogo para amplitudes de un modelo escalar particular [4, 5].

En esos ejemplos, los puntos del espacio geométrico representan variables del problema. La forma organiza relaciones del cálculo y su papel es distinto del de la métrica del espacio-tiempo.

Del espacio a la relación · Tres puntos y dos pasos

Imagina tres puntos, A, B y C. Sabemos que A está conectado con B y B con C. Si cada conexión vale un paso, la distancia entre A y C, medida por el camino más corto, es dos. La cercanía se obtiene de la red y de la regla con que contamos.

El ejemplo muestra la idea sin presuponer un dibujo en el espacio. También hace visibles sus ingredientes: dimos por conocidas las conexiones y elegimos cuánto vale cada paso. Justificar ingredientes como esos es parte del problema del Acto.

El Acto · Empezar por una operación

TCA-F5D propone invertir el orden de la pregunta: comenzar con operaciones que transforman estados y estudiar qué relaciones aparecen al componerlas. Si esas relaciones definen una vecindad, podemos preguntar si de ella se obtiene una métrica efectiva [1].

Es una hipótesis de trabajo. Para derivar la cadena habría que especificar las operaciones, sus reglas de composición y por qué seleccionan unas relaciones y distancias determinadas.

De las relaciones a la métrica y la dimensión

Una vecindad indica qué estados están conectados. Una métrica añade una regla para medir distancias y comparar escalas. La estructura pentadimensional es parte del modelo actual. Explicar por qué emerge una geometría con cinco dimensiones efectivas sería un resultado adicional [1].

Menger · Una regla que se repite

La esponja de Menger, que construimos en la Ficha 0.6, permite ver cómo una operación repetida organiza una figura a varias escalas. Aquí conocemos la regla de antemano y podemos estudiar la forma que genera.

Para que ese ejemplo se vuelva una explicación física hay que derivar por qué el Acto produciría esa regla o esa clase de estructuras, y qué consecuencias de ello podrían observarse.

Del fractal al operador y al espectro

Sobre una geometría elegida, una medida y una forma de energía permiten plantear el problema del operador. La escala y la frontera intervienen en la definición. En Menger, el Paper A-1.1 estudia ese marco para el laplaciano escalar y el Paper B explora versiones discretas a niveles finitos [6, 7].

Los valores espectrales obtenidos caracterizan al operador bajo esas condiciones. Vincularlos con una masa, una frecuencia u otra magnitud física exige derivar una correspondencia que pueda contrastarse.

Dos direcciones para una investigación

Desde el Acto, el trabajo consiste en pasar de una intuición a operaciones, relaciones y reglas geométricas. Desde el otro extremo, consiste en estudiar operadores y espectros para averiguar si alguna consecuencia puede llegar a medirse.

Si las dos direcciones llegan a encontrarse, el vínculo deberá seguirse de reglas explícitas y recuperar la física conocida donde esa descripción ya funciona. Una coincidencia entre números apenas indica por dónde investigar.

De la geometría del ser a la del devenir

Describir una forma responde cómo está organizada. Preguntar por su devenir añade qué la produce y cómo cambia. Entre ambas preguntas está el trabajo de esta ficha: explicar qué estructura surge de una regla y bajo qué condiciones esa estructura describe algo del mundo [1].

Referencias del desarrollo

[1] Víctor Lennon Sepúlveda. Cuaderno 0.1 TCA-F5D. ¿Puede la geometría producir física? Del espacio euclidiano al Acto. Edición gratuita, versión 1.0. Ficha 0.10, pp. 46–53. Ver Cuaderno 0.1.
[2] Bernhard Riemann, 1854. Sobre las hipótesis que sirven de fundamento a la geometría (traducción al inglés de W. K. Clifford).
[3] Albert Einstein, 1916. Los fundamentos de la teoría general de la relatividad.
[4] Nima Arkani-Hamed y Jaroslav Trnka, 2013. The Amplituhedron.
[5] Nima Arkani-Hamed, Yuntao Bai, Song He y Gongwang Yan, 2017. Scattering Forms and the Positive Geometry of Kinematics, Color and the Worldsheet.
[6] Paper A-1.1 · Fundamentos funcionales y espectrales del laplaciano escalar en Menger.
[7] Paper B · Aproximantes discretos, espectro y puente variacional.